网络理论 - 滤波器
顾名思义，滤波器会过滤频率成分。也就是说，它们允许某些频率成分和/或拒绝某些其他频率成分。
在本章中，我们将讨论无源滤波器。这些是具有电阻器、电感器和电容器等无源元件的电路或网络。
滤波器类型
根据允许的频带和/或拒绝的频带，滤波器主要分为四种类型。以下是滤波器的类型。
- 低通滤波器
- 高通滤波器
- 带通滤波器
- 带阻滤波器
低通滤波器
低通滤波器顾名思义，它只允许（通过）低频分量。这意味着，它会拒绝（阻止）所有其他高频分量。
低通滤波器的 s 域电路图（网络）如下图所示。
它由两个无源元件电阻器和电容器组成，它们串联。输入电压施加在整个组合上，输出被视为电容器两端的电压。
这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。
上述网络的传递函数为
$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}}$$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{1 + sCR}$$
代入上述等式中的 $s = j \omega$。
$$H(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega CR}$$
传递函数的幅度是
$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$
当 ω = 0 时，传递函数的幅度等于 1。
当 $\omega = \frac{1}{CR}$ 时，传递函数的幅度等于 0.707。
当 ω = ∞ 时，传递函数的幅度等于 0。
因此，当 ω 从 0 变化到 ∞ 时，低通滤波器 的传递函数的幅度将从 1 变化到 0。
高通滤波器
高通滤波器顾名思义，它只允许（通过）高频率 成分。这意味着，它会拒绝（阻止）所有低频成分。
下图显示了高通滤波器的 s 域电路图（网络）。
它由两个无源元件电容器和电阻器组成，它们以串联连接。输入电压施加在整个组合上，输出被视为电阻器两端的电压。
这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。
上述网络的传递函数是
$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC}}$$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{sCR}{1 + sCR}$$
代入上式中的 $s = j \omega$。
$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 + j \omega CR}$$
传递函数的幅度为
$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$
当 ω = 0 时，传递函数的幅度等于 0。
当 $\omega = \frac{1}{CR}$ 时，传递函数的幅度等于 0.707。
当 ω = ∞ 时，传递函数的幅度等于 1。
因此，当 ω 从 0 变化到 ∞ 时，高通滤波器 的传递函数的幅度将从 0 变化到 1。
带通滤波器
带通滤波器顾名思义，它允许（通过）仅一个频带。一般来说，这个频带位于低频范围和高频范围之间。这意味着，该滤波器拒绝（阻止）低频和高频分量。
带通滤波器的 s 域电路图（网络）如下图所示。
它由三个无源元件电感器、电容器和电阻器组成，它们串联。输入电压施加在整个组合上，输出被视为电阻两端的电压。
这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。
上述网络的传递函数为
$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC} + sL}$$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{s CR}{s^2 LC + sCR + 1}$$
在上述等式中代入 $s = j \omega$。
$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$
传递函数的幅度是
$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$
当 ω = 0 时，传递函数的幅度等于 0。
当 $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 时，传递函数的幅度等于 1。
当 ω = ∞ 时，传递函数的幅度等于 0。
因此，带通滤波器的传递函数的幅度将从 0 变化到 1 & 1 到 0，因为 ω 从 0 到 ∞ 变化。
带阻滤波器
带阻滤波器顾名思义，它只拒绝（阻止）一个频带。一般来说，这个频带位于低频范围和高频范围之间。这意味着，该滤波器允许（通过）低频和高频分量。
下图显示了电路图和带阻滤波器的 s 域（网络）。
它由三个无源元件电阻器、电感器和电容器组成，它们串联连接。输入电压施加在整个组合上，输出被视为电感器和电容器组合上的电压。
这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。
上述网络的传递函数为
$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}}$$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{s^2 LC + 1}{s^2 LC + sCR + 1}$$
代入上述公式中的 $s = j \omega$方程。
$$H(j \omega) = \frac{1 - \omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$
传递函数的幅度为
$$|H(j \omega)| = \frac{1 - \omega^2 LC}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$
当 ω = 0 时，传递函数的幅度等于 1。
当 $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 时，传递函数的幅度等于 0。
当 ω = ∞ 时，传递函数的幅度等于 1。
因此，当 ω 从 0 变化到 ∞ 时，带阻滤波器 的传递函数的幅度将从 1 变化到 0 和从 0 变化到 1。
